المكعــــــــــب: هو جسم له ستة أوجه منتظمة الشكل, وكل هذه الأوجه هي مربعات, فالمكعب هو كتلة تكون بمجملها زوايا قائمة ويكون فيه العرضوالعمقوالارتفاع متساوية. حافات المكعب هي خطوط مستقيمة وأركانه تشكل زوايا قائمة. المكعب له ثمانية أركان واثنا عشر حافة(حرف) وستة أوجه. ويقدر حجم المكعب بطول حرفه مضروبا بنفسه ثلاث مرات, أي مكعب أحد أحرفه. وتقدر مساحة أوجهه بستة أضعاف مساحة أي وجه فيه, أي ستة أضعاف أحد أحرفه. حجم المكعب يقاس بثلاثة أبعاد الطولوالعرضوالارتفاع،ويستخدم الحجم في التعبير عن أشياء حقيقية مثل الصناديق والأبنية والبحيرات مثلا، وكل هذه الأشياء لها طول وعرض وارتفاع. حجم المكعب = الطول × العرض × الارتفاع أو الطول^3 المنشــــــــــــور: المنشور هو شكل ثلاثي الأبعاد مكون من قاعدتان و أضلاع أو أوجه تكون عن طريق وصل المتطابقة يجب أن تكون القواعد الداخلية أشكال كثيرة الأضلاع لها نفس الحجم وتكون الأوجه الداخلية متوازيات أضلاع غالبا مستطيل بينما المنشور ذو القواعد المثلثة يسمى "منشور مثلثي " و المنشور."ذو القواعد المستطيلة يسمى " المنشور المستطيلى الشكل و متوازية مع بعضها البعض الأطراف بالقواعد ملحوظة :المكعب حالة خاصة من المنشور الحجم = مساحة القاعدة × الارتفاع مساحة الإطار = محيط القاعدة × الارتفاع مساحة السطح = 2 × مساحة القاعدة + مساحة الإطار الأسطوانــــــــــة: السطح الاسطواني ينشأ من حركة مساحة محدودة بمنحنى مقفل في اتجاه عمودي عليها ولا توجد أوجه جانبية بل سطح منحني يعرف بالسطح الاسطواني، وإن كان السطح المتحرك محدود بدائرة كان الجسم المتولد اسطوانة دائرية قائمة وإن كانت الحركة في اتجاه يميل على السطح المتحرك كان الجسم المتولد اسطوانة دائرية مائلة. يمكن أن نقول الاسطوانة هي منشور قاعدتيه دائرتان وتتولد الاسطوانة الدائرية القائمة أيضاً من دوران مستطيل حول أحد بعديه دورة كاملة ويكون هذا البعد ارتفاع الاسطوانة (ع) والبعد الآخر نصف قطرها (نق). وتتولد الاسطوانة عن حركة مستقيم مواز لنفسه قاطعاً محيط دائرة ويعرف هذا المستقيم براسم الاسطوانة. يسمى البعد بين مركزي قاعدتي الاسطوانة(دائرتان) محور الاسطوانة. إذا لم تكن قاعدتا الاسطوانة متوازيتان كانت الاسطوانة ناقصة، وذكر كلمة اسطوانة يعني اسطوانة دائرية قائمة تامة (كاملة). حجم الاسطوانة: حجم الاسطوانة = مساحة القاعدة × الارتفاع ( هي حالة خاصة من المنشور) المساحة الجانبية للاسطوانة = محيط القاعدة × الارتفاع = 2 ط نق × ع = 2ط نق ع المساحة الكلية للاسطوانة = المساحة الجانبية + مساحة القاعدتين = 2 ط نق ع + 2 ط نق2 ( مساحة الدائرة = ط نق2 ) = 2ط نق( ع + نق) إذا تساوى حجما اسطوانتين دائرتين قائمتين كانت النسبة بين مساحتيهما تساوي النسبة العكسية لنصفى قطري قاعدتيهما. إذا تساوت المساحتان الجانبيتان لأسطوانتين دائرتين قائمتين كانت النسبة بين حجميهما كالنسبة بين نصفى قطري قاعدتيهما. الهـــــــــــرم: إذا علم مضلع مستو ونقطة خارجة ووصلت برؤوس المضلع تكونت عدة مثلثات قواعدها أضلاع المضلع والجسم الذي تحدده سطوح هذه المثلثات وسطح المضلع يسمى هرم. قاعدة الهرم هي ذلك المضلع والرأس المشترك للمثلثات هو رأس الهرم والمثلثات هي أوجه الهرم الجانبية والعمود النازل من رأس الهرم على قاعدته هو ارتفاع الهرم ويسمى الهرم حسب عدد أضلاع قاعدته فإن كانت مثلث قيل هرم ثلاثي ويسمى الهرم قائم إذا كان موقع العمود من الرأس على القاعدة وهي مضلع منتظم هو مركز القاعدة (المضلع المنتظم ما كانت أضلاعه وزواياه متساوية كالمثلث المتساوي الأضلاع). إذا قطع الهرم بمستوى يوازي قاعدته نشأ هرم ناقص متوازي القاعدتين النسبة بين مساحتي القاعدتين كالنسبة بين مربعي بعديهما عن رأس الهرم. 1 حجم الهرم = ـــ مساحة القاعدة × الارتفاع 3 المساحة الجانبية للهرم = نصف محيط قاعدته × الارتفاع الجانبي المساحة الكلية للهرم = المساحة الجانبية + مساحة قاعدته 1 حجم الهرم الناقص المتوازي القاعدتين = ـــ ع ( ق1 + ق2 + /\ ق1 ق2 ) ق1 ، ق2 مساحتي القاعدتين . 3 المساحة الجانبية للهرم الناقص المتوازي القاعدتين = نصف مجموع محيطي قاعدتيه × الارتفاع الجانبي المساحة الكلية للهرم الناقص المتوازي القاعدتين = المساحة الجانبية + مساحتي قاعدتيه المخـــــــــــــــــــروط: السطح المخروطي يتولد من حركة مستقيم مار بنقطة ثابتة وقاطع محنى مستوى معلوم. فالمنحنى هو محيط قاعدة المخروط والمستقيم يسمى راسم السطح المخروطي ويسمى في أ وضع راسم وإن كان المنحنى دائرة قيل مخروط دائري وكذلك المخروط حالة خاصة من الهرم قاعدته دائرة وإذا مر الارتفاع بمركز القاعدة قيل مخروط دائري قائم، ومقطع المخروط الناشئ من قطعه بمستوى يمر برأسه والقاعدة هو مثلث متساوي الساقين وإذا قطع المخروط بمستوى يوازي القاعدة نشأ المخروط الدائري المتوازي القاعدتين، كما ينشأ المخروط الناقص الدائري القائم من دوران شبه منحرف قائم حول ارتفاعه دورة كاملة. كما يتولد المخروط الدائري القائم من دوران مثلث قائم حوا أحد ضلعي القائمة. 1 حجم المخروط الدائري القائم = ـــ مساحة القاعدة × الارتفاع 3 1 حجم المخروط الدائري القائم = ـــ ط نق2× ع 3 1 حجم المخروط الدائري القائم = ـــ ط ع3 طا2هـ حيث هـ الزاوية نصف الرأسية 3 1 حجم المخروط الدائري القائم = ـــ ط نق3 طتاهـ 3 1 حجم المخروط الدائري القائم الناقص = ـــ ط ع [ (نق1)2 + نق1 نق2 + (نق2)2 ] 3 المساحة الجانبية للمخروط الدائري القائم = نصف محيط قاعدته × طول راسه = ط نق ل حيث ل طول راس المخروط ــــــــــــــــــــ = ط نق /\ نق2 + ع2 المساحة الجانبية للمخروط النقص المتوازي القاعدتين = نصف مجموع محيطي قاعدتيه المتوازيتين × طول حرفه = ط ( نق1 + نق2) × ح المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحة القاعدة للمخروط الدائري القائم المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحة القاعدتين للمخروط الدائري القائم الناقص المتوازي القاعدتين الكـــــــــــــــــــرة: الكرة جسم محدد بسطح مقفل وجميع نقطه تقع على أبعاد متساوية من نقطة ثابتة. تسمى النقطة الثابتة بمركز الكرة والبعد الثابت بنصف قطر الكرة (نق). وتنشأ الكرة من دوران نصف دائرة دورة كاملة حول قطرها. المقطع الحادث من قطع الكرة بمستوى يمر بمركزها هو دائرة نصف قطرها يساوي نصف قطر الكرة ، تسمى هذه الدائرة بالدائرة العظمى ويسمى المستوى بالمستوى المركزي أو القطري إذا قطع كرة مستوى فالمستوى الحادث محيط دائرة صغرى ( المستوى لا يمر بالمركز) 4 حجم الكرة = ـــــ ط نق3 3 مساحة سطح الكرة = 4 ط نق2 الكرة الناقصة : هي الواقعة بين مستويين متوازيين قاطعين للكرة. يسمى المقطعان بالقاعدتين والبعد بينهما بالارتفاع. يسمى السطح الكروي للكرة الناقصة بالمنطقة الكروية. القطعة الكروية : إذا قطعت الكرة بمستو غير مار بالمركز انقسمت إلى جزأين يسمى كل منهما قطعة كروية ويكون المقطع قاعدة القطعة الكروية والعمود المقام من مركز المقطع (دائرة) ملاقي محيط الكرة في نقطة هو ارتفاع القطعة الكروية ( ن هـ في الشكل ). يسمى السطح الكروي للقطعة الكروية بالطاقية الكروية، وهي حالة خاصة من المنطقة باعتبار أحد قاعدتيها مماس للكرة. مساحة المنطقة الكروية = 2 ط نق ع حيث نق نصف قطر الكرة ، ع ارتفاع المنطقة الكروية. مساحة الطاقية الكروية = 2 ط نق ع حيث نق نصف قطر الكرة ، ع ارتفاع القطعة الكروية. ط ع حجــم المنطقة الكروية = ـــــــــ [ 3{(نق1)2 +(نق2)2 } + ع2] ............ (1) 6 بوضع نق2 = صفر في (1) فإن المنطقة الكروية تؤول إلى قطعة كروية نصف قطر قاعدتها نق1 وارتفاعها ع فإن : ط ع حجــم القطعـة الكروية = ــــــــــ [ 3 (نق1)2 + ع2] 6 بوضع نق2 = 0 ، نق1 = نق في (1) فإن ع تؤول إلى نق والمنطقة الكروية تؤول إلى نصف كرة نصف قطرها نق ومنها: ط نق 2 حجــم نصـف الكـرة = ــــــــــ [ 3 نق2 +نق2] = ـــــ ط نق3 6 3 2 حجــم نصـف الكـرة = ـــــ ط نق3 3 بوضع في (1) نق2 = 0 ، نق1 = 0 ، ع = 2نق فإن المنطقة الكروية تؤول إلى كرة نصف قطرها نق ومنها: ط × 2نق حجــم الكـرة = ــــــــــــــــــ [ 0 + (2نق)2] 6 4 حجــم الكـرة = ـــــ ط نق3 3 متوازي المستطيلات: منشور رباعي قائم قاعدته مستطيل وبالتالي جميع أوجهه مستطيلات. أقطاره متساوية ومربع أي منها يساوي مجموع مربعات ثلاث أحرف منه متلاقية في نقطة واحدة. حجم متوازي المستطيلات = الطول × العرض × الارتفاع أو مساحة القاعدة × الارتفاع يمكن اعتبار أي وجه في كل من متوازي السطوح أو متوازي المستطيلات قاعدة لمنشور رباعي.